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第五章 定积分及其应用
定积分概念的起源与应用

定积分的概念起源于求平面图形的面积和其他一些实际问题。定积分的思想在古代数学家的工作中,就已经有了萌芽。比如古希腊时期阿基米德在公元前240年左右,就曾用求和的方法计算过抛物线弓形及其他图形的面积。公元 263 年我国刘徽提出的割圆术,也是同一思想。在历史上,积分观念的形成比微分要早。但是直到牛顿和莱布尼茨的工作出现之前(17世纪下半叶),有关定积分的种种结果还是孤立零散的,比较完整的定积分理论还未能形成,直到牛顿--莱布尼茨公式建立以后,计算问题得以解决,定积分才迅速建立发展起来。

牛顿和莱布尼茨对微积分的创建都作出了巨大的贡献,但两人的方法和途径是不同的。牛顿是在力学研究的基础上,运用几何方法研究微积分的;莱布尼兹主要是在研究曲线的切线和面积的问题上,运用分析学方法引进微积分要领的。牛顿在微积分的应用上更多地结合了运动学,造诣精深;但莱布尼兹的表达形式简洁准确,胜过牛顿。在对微积分具体内容的研究上,牛顿先有导数概念,后有积分概念;莱布尼兹则先有积分概念,后有导数概念。虽然牛顿和莱布尼兹研究微积分的方法各异,但殊途同归。各自独立地完成了创建微积分的盛业,荣耀应由他们两人共享。

定积分概念的理论基础是极限。人类得到比较明晰的极限概念,花了大约2000年的时间。在牛顿和莱布尼茨的时代,极限概念仍不明确。因此牛顿和莱布尼茨建立的微积分的理论基础还不十分牢靠,有些概念还比较模糊,由此引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论,并引发了“第二次数学危机”。经过十八、十九世纪一大批数学家的努力,特别是柯西首先成功地建立了极限理论,魏尔斯特拉斯进一步给出了现在通用的极限的定义,极限概念才完全确立,微积分才有了坚实的基础,也才有了我们今天在教材中所见到的微积分。现代教科书中有关定积分的定义是由黎曼给出的。

 
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