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第一章 函数与极限
函数

函数是微积分中最重要最基本的一个概念,因为微积分是以函数为研究对象,运用无穷小及无穷大过程分析处理问题的一门数学学科。

01

函数概念的起源与发展史

数学史表明,重要的数学概念的产生和发展,对数学发展起着不可估量的作用.有些重要的数学概念对数学分支的产生起着奠定性的作用.函数就是这样的重要概念.

在笛卡尔引入变量以后,变量和函数等概念日益渗透到科学技术的各个领域.纵览宇宙,运算天体,探索热的传导,揭示电磁秘密,这些都和函数概念息息相关.正是在这些实践过程中,人们对函数的概念不断深化.

回顾一下函数概念的发展史,对于刚接触到函数的初中同学来说,虽然不可能有较深的理解,但无疑对加深理解课堂知识激发学习兴趣将是有益的.

最早提出函数function概念的,是17世纪德国数学家莱布尼茨.最初莱布尼茨用“函数”一词表示幂,如都叫函数.以后,他又用函数表示在直角坐标系中曲线上一点的横坐标、纵坐标.

1718年,莱布尼茨的学生、瑞士数学家贝努利把函数定义为:“由某个变量及任意的一个常数结合而成的数量.”意思是凡变量和常量构成的式子都叫做的函数.贝努利所强调的是函数要用公式来表示.后来数学家觉得不应该把函数概念局限在只能用公式来表达上,只要一些变量变化,另一些变量能随之而变化就可以.至于这两个变量的关系是否要用公式来表示,就不作为判别函数的标准.

1755年,瑞士数学家欧拉把函数定义为:“如果某些变量,以某一种方式依赖于另一些变量,即当后面这些变量变化时,前面这些变量也随着变化,我们把前面的变量称为后面变量的函数.”在欧拉的定义中,就不强调函数要用公式表示了,由于函数不一定要用公式来表示,欧拉曾把画在坐标系的曲线也叫函数,他认为:“函数是随意画出的一条曲线.”

当时有些数学家对于不用公式来表示函数感到很不习惯,有的数学家甚至抱怀疑态度.他们把能用公式表示的函数叫“真函数”,把不能用公式表示的函数叫“假函数”.

1821年,法国数学家柯西给出了类似现在中学课本的函数定义:“在某些变数间存在着一定的关系,当一经给定其中某一变数的值,其他变数的值可随着而确定时,则将最初的变数叫自变量,其他各变数叫做函数.”在柯西的定义中,首先出现了自变量一词.

1834年,俄国数学家罗巴切夫斯基进一步提出函数的定义:“函数是这样的一个数,它对于每一个都有确定的值,并且随着一起变化.函数值可以由解析式给出,也可以由一个条件给出,这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法.函数的这种依赖关系可以存在,但仍然是未知的.”这个定义指出了对应关系(条件)的必要性,利用这个关系,可以求出每一个的对应值.

1837年,德国数学家狄里克雷认为怎样去建立与之间的对应关系是无关紧要的,所以他的定义是:“如果对于x的每一个值,总有一个完全确定的y值与之对应,则yx的函数”.这个定义抓住了概念的本质属性,变量y称为x的函数,只须有一个法则存在,使得这个函数取值范围中的每一个值,有一个确定的值和它对应就行了,不管这个法则是公式或图象或表格或其他形式.这个定义比前面的定义带有普遍性,为理论研究和实际应用提供了方便.因此,这个定义曾被比较长期的使用着.

自从德国数学家康托尔的集合论被大家接受后,用集合对应关系来定义函数概念就是现在高中课本里用的了.

中文数学书上使用的“函数”一词是转译词.是我国清代数学家李善兰在翻译《代数学》(1895年)一书时,把“function”译成“函数”的.

中国古代“函”字与“含”字通用,都有着“包含”的意思.李善兰给出的定义是:“凡式中含天,为天之函数.”中国古代用天、地、人、物4个字来表示4个不同的未知数或变量.这个定义的含义是:“凡是公式中含有变量x,则该式子叫做x的函数.”所以“函数”是指公式里含有变量的意思.我们可以预计到,关于函数的争论、研究、发展、拓展将不会完结,也正是这些影响着数学及其相邻学科的发展.

02

极限概念的发展史

微积分中最基本的概念之一,用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态。早在中国古代,极限的朴素思想和应用就已在文献中有记载。例如,3世纪中国数学家刘徽的割圆术,就是用圆内接正多边形周长的极限是圆周长这一思想来近似地计算圆周率的。随着微积分学的诞生,极限作为数学中的一个概念也就明确提出。但最初提出的这一概念是含糊不清的,因此在数学界引起不少争论甚至怀疑。直到19世纪,由A.-L.柯西、K.  (T.W.)外尔斯特拉斯等人的工作,才将其置于严密的理论基础之上,从而得到举世一致的公认。凡本质上与极限概念有关的数学分支统称为分析数学,以区别于完全不用这一概念的代数学。几何学的各分支绝大部分也直接或间接地与极限概念密切相关。

 
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