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第二章 导数与微分
导数的起源与发展

十七与十八世纪的数学家们常把自己的数学活动跟各种不同自然领域(物理、化学、力学、技术)中的研究活动联系起来,并由实际需要提出了许多数学问题。历史上,导数概念产生于以下两个实际问题的研究。第一:曲线的切线问题,这是一个非常古老的问题,可以追溯到希腊著名的科学家阿基米德(Archimedes,287-212B.C);第二:求非均速运动的速度,它最早由开普勒(kepler:1571-1630),伽利略(Galileo:1564—1642),牛顿(Newton:1642-1727)等提出来.

三个例子如下:

01

变速直线运动的瞬时速度

表示一物体从某时刻开始到时刻作直线运动所经过的路程,则的函数,表示为. 下面研究一下物体在时的运动速度.

当时间由改变到时,物体在这段时间内所经过的距离为:

物体在时间内(从到)的平均速度为:

因物体作变速直线运动,它在任一时刻的速度随的不同而不同. 当很小时,可用近似地表示物体在时刻的速度. 愈小,近似的程度愈好. 令,若极限存在,称此极限值为物体在时刻的瞬时速度,即:

02

切线斜率问题

设曲线的图形如图2.1所示:

图 2.1

点为曲线上的一点,在曲线上另取一动点,作割线,与轴正方向交角为,则由图2.1可知,割线的斜率为:

时,动点就沿着曲线趋向定点,这时,割线的倾角就趋向于切线的倾角(切线与轴正方向的夹角). 因此,当时,若存在,则称该极限值为曲线在点的切线的斜率. 有:

03

高台跳水运动运动员的瞬时速度

设在高台跳水运动中,运动员相对水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.计算运动员在这段时间里的平均速度,并思考下面的问题: (1)运动员在这段时间里是静止的吗? (2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?

问题一:请大家思考如何求运动员的瞬时速度,如t=2时刻的瞬时速度?

问题二:请大家继续思考,当δt取不同值时,尝试计算的值?

Δt Δt
-0.1   0.1  
-0.01   0.01  
-0.001   0.001  
-0.0001   0.0001  
-0.00001   0.00001  
……… ………

问题三:当δt趋于0时,平均速度有怎样的变化趋势?

Δt Δt
-0.1 -12.61 0.1 -13.59
-0.01 -13.051 0.01 -13.149
-0.001 -13.0951 0.001 -13.1049
-0.0001 -13009951 0.0001 -13.10049
-0.00001 -13.099951 0.00001 -13.100049
……… ………

答:在t=2时刻,δt趋于0时,平均速度趋于一个确定的值-13.1,即瞬时速度,第一次体会逼近思想;第二次体会逼近思想,为了表述方便,数学中用简洁的符号来表示,即 数形结合,扫清了学生的思维障碍,更好地突破了教学的重难点,体验数学的简约美

问题四:运动员在某个时刻的瞬时速度如何表示呢?继续思考:运动员在某个时刻的瞬时速度如何表示?学生意识到将代替2,可类比得到,而是通过形象生动的逼近思想来定义时刻的瞬时速度,借助其它实例,抽象导数的概念

问题五:假如将这变化率问题中的函数用来表示,那么函数处的瞬时变化率如何呢? 在前面两个问题的铺垫下,进一步提出,我们这里研究的函数处的瞬时变化率处的导数,记作 (也可记为)

上述三个实例具体含义虽然不同,但都可以归结为计算函数改变量与自变量改变量之比在自变量改变量趋向于0时的极限. 这种特殊的极限叫做函数的导数.

(一)   力学、物理和其他学科(如经济)的许多重要问题都涉及到研究函数变化率和增量问题,因此本章的导数与微分问题,是学习后继课程和工程技术中不可缺少的工具。

(二)   教学方法上,许多重要的应用问题都涉及到导数概念,因此我们要注意导数与实际问题的联系,另外求导公式,微分公式及初等函数的求导均是我们高等数学的重要基本功,要加强训练,使学生熟练掌握。

 
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